สรุปเนื้อหา หลักการใช้ "เซต"
เซต คือ ลักษณะนามที่ใช้เรียกกลุ่มหรือสิ่งของต่าง ๆ ที่รวมกันเป็นกลุ่ม ซึ่งจะต้องระบุได้ว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ ที่ประกอบไปด้วย วันอาทิตย์, จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์ และวันเสาร์ หรือเซตของวันในเดือนกันยายน ที่มีวันที่ 1 ถึงวันที่ 30 เป็นต้น สำหรับการเรียนในเรื่องเซตนั้น ผู้เรียนจะต้องบอกได้ว่าอะไรอยู่ในเซต และอะไรที่ไม่อยู่ในเซต เช่น ยูเรนัส ไม่ได้อยู่ในเซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ เป็นต้น
วิธีการเขียนเซต
การเขียนเซตด้วยวิธีอื่น ๆ การเขียนเซตในรูปแบบวิธีอื่น ๆ ส่วนใหญ่จะเป็นลักษณะของการบรรยาย, การใช้แผนภาพ หรือข้อความ เช่น เซตของนักเรียนห้อง ม.4/1 ที่เป็นเลขคู่ทั้งหมด หรือการใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ใช้เขียนแทนเซตซึ่งแทนเอกภพสัมพัทธ์ U ตามตัวอย่างรูปด้านล่าง
จากรูปมีความหมายว่า
รูปวงกลม แทนเซต A โดยที่ A = {1, 2, 3}
รูปสามเหลี่ยมแทนเซต B โดยที่ B = {a, b, c}
รูปห้าเหลี่ยมแทนเซต C โดยที่ C = {d, e }
รวมสัญลักษณ์ต่าง ๆ เกี่ยวกับเซตที่ควรทราบ
I แทนเซตจำนวนเต็ม คือ { … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , … }
I- แทนเซตจำนวนเต็มลบ คือ { … -5, -4 , -3 , -2 , -1 }
I+ แทนเซตจำนวนเต็มบวก คือ { 1 , 2 , 3 , 4, 5, … }
N แทนเซตของจำนวนนับ คือ { 1 , 2 , 3 , … }
P แทนเซตของจำนวนเฉพาะที่เป็นบวก คือ { 2 , 3 , 4 , 7 , 10 , … }
R แทนเซตของจำนวนจริง ประกอบด้วย จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ
R+, R- แทนเซตของจำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ ตามลำดับ
ชนิดของเซต
เซต ถูกแบ่งออกเป็นสองชนิดได้แก่ เซตจำกัดและเซตอนันต์ ซึ่งเซตแต่ละชนิดจะมีวิธีในการแยกแยะออกจากกันดังนี้
เซตจำกัด หมายถึงเซตที่มีจำนวนสมาชิกที่เป็นจำนวนเต็มบวก หรือเต็มศูนย์ เช่น F = {1, 2, 3, 4, 5} หมายความว่าเซต F มีสมาชิกทั้งหมด 5 ตัว ดังนั้น เซต F จึงเป็นเซตจำกัด หรือ X = { 8 } X มีสมาชิกเพียง 8 ตัวเดียว เป็นต้น
เซตอนันต์ หมายถึงเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเป็นเซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ เช่น B = {1, 2, 3, ….} จะเห็นว่าเซต B มีสมาชิกที่เริ่มต้นด้วย 1, 2, 3,… แต่ไม่สามารถระบุได้ว่า สมาชิกตัวสุดท้ายของเซต B คืออะไร เซต B จึงเป็นเซตอนันต์ ไม่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้
ตัวอย่าง
จงบอกสมาชิกของเซต และจำนวนสมาชิกของเซต ( n(A) )
1. {a, b, c, x, y, z }
ตอบ ถ้า (A) = {a,b,c,x,y,z} จะได้ (n(A)) = 6
2. {56789}
ตอบ ถ้า (A) = {56789} (n(A)) = 1
3. {{a, b, c}, a, {b, c}}
ตอบ ถ้า (A) = {{a, b, c}, a, {b, c}} จะได้ (n(A)) = 3
4. {x│x เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 10}
ตอบ (A) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} จะได้ (n(A)) = 9
5. เซตของจำนวนเต็มระหว่าง 5 กับ 9
ตอบ (A) = {6,7,8} จะได้ (n(A)) = 3
ข้อใดต่อไปนี้ เป็นเซตจำกัดหรือ เซตอนันต์
1. เซตของจำนวนคี่ที่มี 7 เป็นหลักสิบ
2. {1, 2, 3, …, 50}
3. {x|x เป็นจำนวนเต็มลบ}
ตอบ ข้อ 1 กับข้อ 3
การเท่ากันของเซต
จากนิยาม เซต A เท่ากับ เซต B ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน ซึ่งเซตจะเท่ากันหรือไม่ ขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกภายในเซตเหมือนกัน เช่น A = {2, 3}, B = {3, 2} ดังนั้น A = B เป็นต้น
สับเซตและเพาเวอร์เซต
สับ เซต คือ เซตย่อยที่มาจากเซตที่ใหญ่กว่าอีกครั้งหนึ่ง เช่น A เป็นสับเซตของ B แสดงว่า B ใหญ่กว่าหรือเท่ากับ A เนื่องจาก A ย่อยมาจากเซต B แสดงว่าสมาชิกทุกตัวของ A จะต้องอยู่ในเซตของ B ด้วย ซึ่งสัญลักษณ์ในการเขียนสับเซตคือ ⊂ สามารถเขียนได้ดังนี้ A ⊂ B เช่น
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…100}
A ⊂ B เพราะสมาชิกทุกตัวในเซต A เป็นสมาชิกในเซต B
ไม่เป็นสับเซต คือ สมาชิก X ไม่เป็นสมาชิกของ Y โดยที่สมาชิกของ X ทุกตัวต้องไม่เป็นสมาชิกของ Y สามารถเขียนได้ดังนี้ X ⊄ Y เช่น
X = {5, 6, 7, 8}
Y = {a, b, c, d,}
X ⊄ Y เพราะสมาชิกทุกตัวในเซต X ไม่เป็นสมาชิกในเซต Y
ข้อควรจำ
เพาเวอร์เซต
หาก A เป็นเซต เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของ A ซึ่ง พาวเวอร์เซต A เขียนแทนด้วย P(A) เช่น A = {1, 2}
ดังนั้น สับเซตทั้งหมดของ A ได้แก่ Ø , {1}, {2} และ {1, 2}
P(A) เพาเวอร์เซต A = { Ø , {1}, {2}, {1, 2} จำนวนสมาชิกของ P(A) = 4
สูตรหาจำนวนสมาชิกของ P A( ) หรือ จำนวนของเซตที่เป็นสับเซตของ A
คือจำนวนสมาชิกของ P(A )= 2n (A ) เมื่อ n (A ) เป็นจำนวนสมาชิกของ A
การดำเนินการของเซต (Operations)
คือการนำเซตต่าง ๆ มากระทำกันเพื่อเกิดเป็นเซตใหม่ โดยมีด้วยกัน 4 วิธี ได้แก่
ข้อสังเกตของเพาเวอร์เซต
คุณสมบัติของโอเปอเรชัน
การหาจำนวนสมาชิกของเซต
การหาจำนวนสมาชิกของเซต สามารถหาได้ 2 วิธีได้แก่
สูตรการหาจำนวนสมาชิก
โดย n แทนจำนวนสมาชิกใน เซต คือ
จากที่อธิบายมาข้างต้น ก็ได้ทราบกันแล้วว่า เซต คือ อะไร สำหรับนักเรียนคนใดสนใจที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องเซตและหัวข้ออื่น ๆ เกี่ยวกับวิชาคณิตศาสตร์ หรือการแก้ไขโจทย์และสมการต่าง ๆ สามารถหาดูได้ผ่านทางเว็บไซต์วิชาการหรือเว็บรวมข้อสอบเก่าในการสอบ O-Net ระดับมัธยมศึกษาตอนปลายได้ เพื่อที่จะได้ฝึกฝนการทำโจทย์และจะได้เข้าใจเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์มากยิ่งขึ้น
ที่มาข้อมูล