สรุปเนื้อหา หลักการใช้ "เซต"

เซต คือ ลักษณะนามที่ใช้เรียกกลุ่มหรือสิ่งของต่าง ๆ ที่รวมกันเป็นกลุ่ม ซึ่งจะต้องระบุได้ว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ ที่ประกอบไปด้วย วันอาทิตย์, จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์ และวันเสาร์ หรือเซตของวันในเดือนกันยายน ที่มีวันที่ 1 ถึงวันที่ 30 เป็นต้น สำหรับการเรียนในเรื่องเซตนั้น ผู้เรียนจะต้องบอกได้ว่าอะไรอยู่ในเซต และอะไรที่ไม่อยู่ในเซต เช่น ยูเรนัส ไม่ได้อยู่ในเซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ เป็นต้น

วิธีการเขียนเซต

1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก เป็นวิธีการเขียนสมาชิกของเซตทั้งหมดลงในเครื่องหมาย { } โดยมีเครื่องหมาย ( , ) คั่นแต่ละสมาชิกของเซตเอาไว้ เช่น เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 ได้แก่ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
2. การเขียนบอกเงื่อนไข เป็นการเขียนโดยใช้ตัวแปรแทนสมาชิก จากนั้นค่อยบรรยายคุณสมบัติของสมาชิกที่อยู่ในเซต เช่น A = {x|x เป็นจำนวนเต็มบวก} หมายความว่า A เป็นเซตที่ประกอบไปด้วยสมาชิก x โดยที่ x เป็นจำนวนเต็มบวก สัญลักษณ์ “|” แทนคำว่า “โดยที่”

การเขียนเซตด้วยวิธีอื่น ๆ การเขียนเซตในรูปแบบวิธีอื่น ๆ ส่วนใหญ่จะเป็นลักษณะของการบรรยาย, การใช้แผนภาพ หรือข้อความ เช่น เซตของนักเรียนห้อง ม.4/1 ที่เป็นเลขคู่ทั้งหมด หรือการใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ใช้เขียนแทนเซตซึ่งแทนเอกภพสัมพัทธ์ U ตามตัวอย่างรูปด้านล่าง

  จากรูปมีความหมายว่า 

  รูปวงกลม แทนเซต A โดยที่ A = {1, 2, 3}

  รูปสามเหลี่ยมแทนเซต B โดยที่ B = {a, b, c}

  รูปห้าเหลี่ยมแทนเซต C โดยที่ C = {d, e }

รวมสัญลักษณ์ต่าง ๆ เกี่ยวกับเซตที่ควรทราบ

  I แทนเซตจำนวนเต็ม คือ { … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , … }

  I^- แทนเซตจำนวนเต็มลบ คือ { … -5, -4 , -3 , -2 , -1 }

  I⁺ แทนเซตจำนวนเต็มบวก คือ { 1 , 2 , 3 , 4, 5, … }

  N แทนเซตของจำนวนนับ คือ { 1 , 2 , 3 , … } 

  P แทนเซตของจำนวนเฉพาะที่เป็นบวก คือ { 2 , 3 , 4 , 7 , 10 , … }

  R แทนเซตของจำนวนจริง ประกอบด้วย จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ

  R⁺, R^- แทนเซตของจำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ ตามลำดับ

ชนิดของเซต

เซต ถูกแบ่งออกเป็นสองชนิดได้แก่ เซตจำกัดและเซตอนันต์ ซึ่งเซตแต่ละชนิดจะมีวิธีในการแยกแยะออกจากกันดังนี้

เซตจำกัด หมายถึงเซตที่มีจำนวนสมาชิกที่เป็นจำนวนเต็มบวก หรือเต็มศูนย์ เช่น F = {1, 2, 3, 4, 5} หมายความว่าเซต F มีสมาชิกทั้งหมด 5 ตัว ดังนั้น เซต F จึงเป็นเซตจำกัด หรือ X = { 8 } X มีสมาชิกเพียง 8 ตัวเดียว เป็นต้น

เซตอนันต์ หมายถึงเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเป็นเซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ เช่น B = {1, 2, 3, ….} จะเห็นว่าเซต B มีสมาชิกที่เริ่มต้นด้วย 1, 2, 3,… แต่ไม่สามารถระบุได้ว่า สมาชิกตัวสุดท้ายของเซต B คืออะไร เซต B จึงเป็นเซตอนันต์ ไม่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้

ตัวอย่าง

จงบอกสมาชิกของเซต และจำนวนสมาชิกของเซต ( n(A) )

   1. {a, b, c, x, y, z }

     ตอบ ถ้า (A) = {a,b,c,x,y,z} จะได้ (n(A)) = 6

   2. {56789}

     ตอบ ถ้า (A) = {56789} (n(A)) = 1 

   3. {{a, b, c}, a, {b, c}}

     ตอบ ถ้า (A) = {{a, b, c}, a, {b, c}} จะได้ (n(A)) = 3

   4. {x│x เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 10}

     ตอบ (A) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} จะได้ (n(A)) = 9 

   5. เซตของจำนวนเต็มระหว่าง 5 กับ 9

     ตอบ (A) = {6,7,8} จะได้ (n(A)) = 3

ข้อใดต่อไปนี้ เป็นเซตจำกัดหรือ เซตอนันต์

    1. เซตของจำนวนคี่ที่มี 7 เป็นหลักสิบ

    2. {1, 2, 3, …, 50}

    3. {x|x เป็นจำนวนเต็มลบ}

    ตอบ ข้อ 1 กับข้อ 3

การเท่ากันของเซต

จากนิยาม เซต A เท่ากับ เซต B ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน ซึ่งเซตจะเท่ากันหรือไม่ ขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกภายในเซตเหมือนกัน เช่น A = {2, 3}, B = {3, 2} ดังนั้น A = B เป็นต้น

สับเซตและเพาเวอร์เซต

สับ เซต คือ เซตย่อยที่มาจากเซตที่ใหญ่กว่าอีกครั้งหนึ่ง เช่น A เป็นสับเซตของ B แสดงว่า B ใหญ่กว่าหรือเท่ากับ A เนื่องจาก A ย่อยมาจากเซต B แสดงว่าสมาชิกทุกตัวของ A จะต้องอยู่ในเซตของ B ด้วย ซึ่งสัญลักษณ์ในการเขียนสับเซตคือ ⊂ สามารถเขียนได้ดังนี้ A ⊂ B เช่น

 A = {1, 2, 3, 4}

 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…100}

 A ⊂ B  เพราะสมาชิกทุกตัวในเซต A เป็นสมาชิกในเซต B

ไม่เป็นสับเซต คือ สมาชิก X ไม่เป็นสมาชิกของ Y โดยที่สมาชิกของ X ทุกตัวต้องไม่เป็นสมาชิกของ Y สามารถเขียนได้ดังนี้ X ⊄ Y เช่น 

  X = {5, 6, 7, 8}

  Y = {a, b, c, d,}

  X ⊄ Y เพราะสมาชิกทุกตัวในเซต X ไม่เป็นสมาชิกในเซต Y

ข้อควรจำ

• เซตทุกเซต ย่อมเป็นสับเซตของตัวมันเอง 
• เซตว่าง Ø เป็นสับเซตของเซตทุกเซต 
• สับเซตแท้ คือ สับเซตที่ไม่ใช่เซตของตัวมันเอง

เพาเวอร์เซต

หาก A เป็นเซต เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของ A ซึ่ง พาวเวอร์เซต A เขียนแทนด้วย P(A) เช่น A = {1, 2} 

ดังนั้น สับเซตทั้งหมดของ A ได้แก่ Ø , {1}, {2} และ {1, 2}

P(A) เพาเวอร์เซต A = { Ø , {1}, {2}, {1, 2} จำนวนสมาชิกของ P(A) = 4 

สูตรหาจำนวนสมาชิกของ P A( ) หรือ จำนวนของเซตที่เป็นสับเซตของ A

คือจำนวนสมาชิกของ P(A )= 2n (A ) เมื่อ n (A ) เป็นจำนวนสมาชิกของ A

การดำเนินการของเซต (Operations)

คือการนำเซตต่าง ๆ มากระทำกันเพื่อเกิดเป็นเซตใหม่ โดยมีด้วยกัน 4 วิธี ได้แก่

1. ยูเนียน ของ A และ B คือ เซตที่ประกอบไปด้วยจำนวนสมาชิกของ A หรือจำนวนสมาชิกของ B เข้าไว้ด้วยกัน เขียนแทนด้วย A U B 
2. อินเตอร์เซกชัน ของ A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยจำนวนสมาชิกของ A ที่เหมือนกันกับจำนวนสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย A ∩ B
3. ผลต่าง คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ A ที่ไม่ใช่สมาชิกของ B เขียนแทนด้วย A – B
4. คอมพลีเมนต์ ของ A เขียนแทนด้วย A' คือสับเซตของ U ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่ไม่อยู่ ใน A

ข้อสังเกตของเพาเวอร์เซต

1. P(Ø) = { Ø }
2. P(A) ≠ Ø
3. เซตว่าง Ø ⊂ P(A)
4. A ⊂ P(A)
5. เซต A มีสมาชิก n ตัว P(A) จะมีสมาชิก = 2ⁿ
6. n(P(A) ∩ P(B ))= 2^{n(A ∩ B )}
7. A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ P(A) ⊂ P(B)
8. P(A) ∩ P(B) = P(A∩B)
9. P(A) U (B) ⊂ P(A U B)

คุณสมบัติของโอเปอเรชัน

1. กระทำตัวเอง A U A , A ∩ A
2. การสลับที่ A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A
3. การเปลี่ยนกลุ่ม (A U B) U C = A U (B U C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
4. การแจกแจง A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) หรือ A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
5. A ∩ (A U B) = A
6. A U (A ∩ B) = A
7. A ∩ (A’ U B) = A ∩ B
8. A U (A’ ∩ B) = A U B 
9. (A U B) ∩ (A U B’) = A
10. (A ∩ B) U (A ∩ B’) = A

การหาจำนวนสมาชิกของเซต

การหาจำนวนสมาชิกของเซต สามารถหาได้ 2 วิธีได้แก่

1. การวาดรูปหรือการเขียนแผนภาพ โดยส่วนใหญ่จะใช้เมื่อมีจำนวนของเซตในปริมาณน้อยและไม่ซับซ้อน 
2. การใช้สูตร ซึ่งเป็นวิธีที่รวดเร็ว แต่อาจใช้ได้กับข้อสอบบางข้อเท่านั้น

สูตรการหาจำนวนสมาชิก

โดย n แทนจำนวนสมาชิกใน เซต คือ

• n(A U B) = n (A) + n(B) - n(A ∩ B)
• n (A U B U C) = n (A)+ n(B)+ n(C)- n(A ∩ B)- n (A ∩ C)- n(B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)

จากที่อธิบายมาข้างต้น ก็ได้ทราบกันแล้วว่า เซต คือ อะไร สำหรับนักเรียนคนใดสนใจที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องเซตและหัวข้ออื่น ๆ เกี่ยวกับวิชาคณิตศาสตร์ หรือการแก้ไขโจทย์และสมการต่าง ๆ สามารถหาดูได้ผ่านทางเว็บไซต์วิชาการหรือเว็บรวมข้อสอบเก่าในการสอบ O-Net ระดับมัธยมศึกษาตอนปลายได้ เพื่อที่จะได้ฝึกฝนการทำโจทย์และจะได้เข้าใจเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์มากยิ่งขึ้น

ที่มาข้อมูล

• https://sites.google.com/site/khwamrukhnisastr/srup-neuxha-khnitsastr-m-4/set
• https://www.opendurian.com/learn/subset_and_powerset/
• http://mathstat.sci.tu.ac.th/~suramase/TU151/CH1.pdf
• https://www.tewfree.com/ความหมายของเซต-คณิตศาสตร์-ม-4/